フーリエ変換 $Fourier-Transformation$

ベクトルを、関数に拡張すると、以下のような概念が得られる。

（１）内積

　ベクトルの内積

U \cdot V = \sum_{i = 1}^{n} U_{i} V_{i}

　関数の内積　U(x)・V(x)＝

\int_{- \infty}^{\infty} U (x) V (x) ⅆ x

　内積の構造を備えた関数の空間(抽象ベクトル空間、内積空間）を「ヒルベルト空間」と呼ぶ。

（２）行列と作用素

　　行列 M　によるベクトル V の変換
　　　　　V’ ＝　MV
　　　Mは回転＋各軸変形＋回転の積U₁AU₂に分解される。
　　　この「物体を回転させた上で各軸変形し再び回転させる」操作は、対角行列を求める計算に対応する。
　　　二次元の場合、回転の自由度は1、変形の自由度は2で、合計1+2+1=4の自由度は２×２の行列の要素数と一致する。
　　　三次元の場合、回転の自由度は3、変形の自由度は3で、合計の自由度 3+3+3=9 は、3×3と一致する。
　　　四次元の場合、回転の自由度は6(空間回転3+並進3)、変形の自由度は4で、合計6+4+6=16の自由度は4×4と一致する。
　　　これら２～４次元の場合、合計の自由度は、Mの要素数と一致している（冗長性、重複はない）。
　　　回転行列U₁,U₂はユニタリ行列、変形Aは固有値を並べた対角行列である。
　　　U₁A および AU₂ はエルミート行列である。
　　　エルミート行列の外観は「対称行列」（a_ij=a_ji)である。
　　　ベクトルu,vに関して Eu・v＝u・EvならEはエルミートである。
　　　複素数に拡張したとき、外観は「自己随伴行列」となる。
　　　随伴行列とは転置共役行列である。共役は共軛とも言い虚部を逆転したもの。
　　　エルミート行列を回転により対角化したとき対角成分は固有値である。
　　　これを変形としてみると、各座標軸毎の倍率に相当する。
　　　エルミート行列は、任意の座標軸に関して倍率を掛けるような変形を記述する。
　　２値関数 M(x,y) を作用素とする関数 V(x)　の変換
　　　　V’(y) =

{\int_{- \infty}^{\infty} M (x, y) V (x) d x}_{}^{}

　　　フーリエ変換はユニタリー変換である。
　　　エルミート行列の固有値は実数である。
　　　量子力学では観測可能な量はエルミート行列の固有値である。
　　　固有値は三角行列、更には対角化した行列の対角成分である。

（３）作用素

　　関数ｆは、ベクトルの要素を無限に拡張したものとみなすことができる。
　　連続関数に、特異点を加えた「超関数」の概念を導入する
　　有限次元のユニタリー行列から無限次元のユニタリー作用素に拡張する（ヒルベルト空間）
　　作用素としての二変数の関数が、無限積分により、１変数の関数を変換する。
　　積分の概念を拡張する（ルベーグ積分）
　　単位マトリクス　E(x,y)　＝　δ(x-y)　ディラックのδ関数
　（単位マトリクスを表すクロネッカーのδを関数に拡張）
　　フーリエ変換の作用素　M(x,y)　＝　exp(-i2πxy)
　　

\hat{F}

(y)＝M(x,y)・F(x)
　　M^*＝(

\hat{m}

_ji)_ij:転置複素共役
　　ユニタリ作用素：M^*=M^-1
　　エルミート作用素：M^*=M

（４）逆変換

　　M^-1(x,y)＝exp(2πxy)
　　F(x)=M^-1・

\hat{F}

(y)
　（M・M^-1）(x,y)＝δ(x-y)
・フーリエ変換を二回行うと、変数の符号を逆転したものが出てくる。
　　M(x,y)・

\hat{F}

(x) = F(-y)
　（M・M）(x,y)＝δ(x+y)
　　（メビウス風、回転四元数、スピノール）
　２次行回転列の場合：90°回転を２回行うと、180°回転となる。

(\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})

＝

(\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix})

　３次元行列の場合：回転により鏡像変換は不可能。
　　回転quat qa/q = -a となるような q は存在しない。
　　qa/q を行列表現すると：

(\begin{matrix} 0 & - q z & q y \\ q z & 0 & - q x \\ - q y & q x & 0 \end{matrix})

（５）多次元フーリエ変換、四元数フーリエ変換

空間振動現象を様々の振動数の立体的な楕円振動に分解する。
時間と空間座標を記述する点群　Q
フーリエ変換された結果は、周波数と空間的な波数を示す Q'

（６）離散フーリエ変換

　データ化された実際の計測値は離散値をとる。
等時間間隔で計測する場合には、サンプリング周波数の半分から下の周波数が有効。
無限に続く入力を変換する（計測する）時間を限るために窓関数を使用する。
・

F (t) = a_{0} + \sum_{t=0}^{N-1} f (x) \exp (- i \frac{2πtx}{N})

DFT（有限のサンプリング点）[MathML編集後]
・

F (t) = a_{0} + \sum_{t = 0}^{N - 1} f (x) e x p (- i \frac{2 π t x}{N})

DFT（有限のサンプリング点）[MathML編集前]
・

f (x) = \frac{1}{N} \sum_{t = 0}^{N - 1} F (t) e x p (i \frac{2 π x t}{N})

IDFT（有限の三角関数の重畳）
・畳込み定理

(f * g) (x) = \sum_{n = 0}^{N - 1} f (n) g (x - n)

・f(x+N)=f(x), g(x+N)=g(x) 周期性がある
・F(f*g)=F(f)F(g)　畳込みの変換結果は変換結果の積
・離散コサイン変換を使って2次元情報を圧縮する方法：JPEG

（７）窓関数

・無限に続く入力に対して窓関数を適用し有限の範囲を変換する。
・窓の時間が長くなると、周波数分布は狭くなり、計測精度は高くなる（不確定性原理）

いくつかのフーリエ変換の変換事例

　プログラムでフーリエ変換を実装するためには、離散値を扱うしかない。
　以下のようなプログラムを用いて、様々な関数を変換してみる。
　（F は結果表示の刻み、t はサンプリング時刻）

	for(F=0.1;F<12.0;F+=0.1){//Fは振動数/日。１でピークとなるハズ
		S=C=0.0;
		for(t=0.0;t<term;t+=dt){
			s = sin(t * pi2)*sin(F * pi2 * t );
			c = sin(t * pi2)*cos(F * pi2 * t );
			S += s;
			C += c;
		}
		S /= norm;
		C /= norm;
		R = sqrt(S*S + C*C);
		L = 1.0/F;
		fprintf(wp,"%g,%g,%g,%g,%g\n",F,L,R,S,C);
	}

参考文献

シッフ「量子力学（上）」井上健訳　吉岡書店　1970　
　22-7 無限次元の行列　p.176
磯崎洋「超関数・フーリエ変換入門　基礎から偏微分方程式への応用まで」サイエンス社　臨時別冊・数理科学　SGCライブラリ72 2010
　A.3 ヒルベルト空間 p.139
ハイム・フレシス「関数解析　その理論と応用に向けて」磯田宏訳、小西芳雄訳　産業図書1988
Michael E. Peskin, Daniel V. Schroeder "An Introduction to Quantum Field Theory, Westview Press 1995
柴田正和「変分法と変分原理」森北出版株式会社 2017
 歴史上のラグランジェ方程式と、フーリエ変換（質点←→波）の臭い関係

フーリエ変換 Fourier-Transformation