メモ帳による MathML 直打ちで、エルミート作用素の解説を作成してみる。

Unitary-Hermite

エルミート行列は、外形から「対称行列」と呼ばれる。
歪テンソルの場合には、「正値対称テンソル」と呼ばれる。
複素行列の場合には、自己随伴行列と呼ばれる。
ユニタリー行列は、「直交行列」と呼ばれる
（同列の内積は１、異列の内積は０）

エルミート行列 H は固有値と固有ベクトルを持つ。
固有ベクトルを並べた行列 U_e はユニタリー行列である。
対角成分に固有値を並べた対角行列を E とする。
U_eHU_e^t=E ---htmlで記述

U_{e} H U_{e}^{t} = E

---mathmlで記述
（固有ベクトルである列ベクトルが各固有値倍され、内積は固有値）
任意の行列 M について

M = V_{1} H_{1} = H_{2} V_{2} = U_{l} E {U_{r}}^{t}

ここで、

H_{1} = U_{r} E {U_{r}}^{t}

V_{1} U_{r} = U_{l}

かつ、

H_{2} = U_{l} E {U_{l}}^{t}

{U_{l}}^{t} V_{2} = {U_{r}}^{t}

H = (\begin{matrix} 0.8 & 0.6 \\ 0.6 & 0.8 \end{matrix}) 正値対称行列、エルミート行列

U_{e} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{matrix})

U_{e} E {U_{e}}^{t} = \frac{1}{2} (\begin{matrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0.8 & 0.6 \\ 0.6 & 0.8 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{matrix}) = \frac{1}{2} (\begin{matrix} 0.2 & -0.2 \\ 1.4 & 1.4 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0.2 & 0 \\ 0 & 1.4 \end{matrix})

ここで、

\frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 1 & -1 \end{matrix})

および、

\frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 1 & 1 \end{matrix})

は H の固有ベクトルであり、固有値はそれぞれ0.2, 1.4 である。